例6 五面體數(shù)，見下圖.

二年級奧數(shù)經(jīng)典題及答案-數(shù)與形相映

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，五面體的每一層的圓點個數(shù)都是四角形數(shù)，因此五面體數(shù)可由幾個四角形數(shù)相加得到：

第一個數(shù)：1=1

第二個數(shù)：5=1+4

第三個數(shù)：14=1+4+9

第四個數(shù)：30=1+4+9+16

第五個數(shù)：55=1+4+9+16+25.

例7 按不同的方法對圖中的點進行數(shù)數(shù)與計數(shù)，可以得出一系列等式，進而可猜想到一個重要的公式.

由此可以使人體會到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系.

二年級奧數(shù)經(jīng)典題及答案-數(shù)與形相映

方法1：先算空心點，再算實心點：

22+2×2+1.

方法2：把點圖看作一個整體來算32.

因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：

22+2×2+1=32.

二年級奧數(shù)經(jīng)典題及答案-數(shù)與形相映

方法1：先算空心點，再算實心點：

32+2×3+1.

方法2：把點圖看成一個整體來算：42.

因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：

32+2×3+1=42.

二年級奧數(shù)經(jīng)典題及答案-數(shù)與形相映

方法1：先算空心點，再算實心點：

42+2×4+1.

方法2：把點圖看成一個整體來算52.

因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：

42+2×4+1=52.

把上面的幾個等式連起來看，進一步聯(lián)想下去，可以猜到一個一般的公式：

22+2×2+1=32

32+2×3+1=42

42+2×4+1=52

…

n2+2×n+1=(n+1)2.

利用這個公式，也可用于速算與巧算.

如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100

992+2×99+1=(99+1)2

=1002=10000.